No solo Codigo

Conocer la teoria que esta detras de opengl o cualquier libreria grafica no es necesaria para el uso de estas, pero si uno se quiere dedicar a esto bien, deberia conocerlas.

Un vector es un elemento que define una direccion y una magnitud.

Se representa por: V = < x, y, z >

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Magnitud:

| V | = sqrt (x*x + y*y + z*z) -> sqrt: raiz cuadrada

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Formar Vector de un punto a otro

Si queremos formar el vector V12 enttre dos puntos P1, y P2

V12 = cabeza – cola = P2 – P1 = < P2.x – P1.x , P2.y – P1.y , P2.z – P2.z>

Siendo V12, el vector q                 ue va de P1 a P2.

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Normalizacion

Cuando se normaliza un vector se reduce su magnitud a 1.

Sea V un vector no normalizado, su forma normalizada es:

V = V / | V | = < x / | V | , y / | V | , z / | V | > → vector / magnitud

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Operaciones basicas con vectores:

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Suma de vectores (Adicion)

Sea V1 = < x1, y1, z1 > y V2 = < x2, y2, z2 > dos vectores:

V1 + V2 = < x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 >

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Multiplicacion y division de un escalar con un vector

Sea w un escalar y V un vector:

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w*V = <  x*w , y*w, z*w >

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V / w = <  x/w, y/w, z/w >

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Producto punto (inner product)

Sea V1 = y V2 = dos vectores, el producto punto entre V1 y V2 se representa por:

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V1 . V2 = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2

Otra manera de encontrarlo, siendo O el angulo entre V1 y V2:

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V1 . V2 = | V1 | * | V2 | * cos ( O )

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Notemos que si V1 y V2 estan normalizados entonces la | V1 | * | V2 | = 1, entonces podemos simplificar para este caso en:

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V1 . V2 = cos ( O )

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Cosas para tener en cuenta, importantes para los graficos en 3D:

• V1 . V2 = 0 → si O es 90 grados

• V1 . V2 > 0 → si O es menor a 90 grados

• V1 . V2 < 0 → si O es mayor a 90 grados

• V1 . V2 = | V1 | ^ 2 = | V2 | ^ 2 → si V1 y V2 son iguales

Nota: El producto punto da como resultado un escalar.

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Producto Crus (cross product)

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Usado muy frecuentemente en temas como detecciones de colision, iluminacion y fisica.

Sea V1 = y V2 = dos vectores, O el angulo entre ellos y N un vector perpendicular a V1 y a V2:

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V1 x V2 = | V1 | * | V2 | * seno ( O ) * N

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ò

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V1 x V2 =  |    i               j                   k    |

|                                               |

|   x1            y1                z1  |

|                                               |

|   x2            y2                z2  |

|                                               |

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= i ( y1*z2 – z1*y2) – j (z1*x2 – x1*z2) + k ( x1*y2 – y1*x2 )

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= < y1*z2 – z1*y2 , z1*x2 – x1*z2 , x1*y2 – y1*x2 >

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Nota : El producto cruz da como resultado un Vector perperdicular (normal) a los dos vectores

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Para saber su direccion se aplica la ley de la mano derecha:

Tenemos el vector V1, y V2, ahora queremos saber en que direccion sale el vector resultante del producto cruz: V1xV2

Ponemos la mano abiera en direccion del vector V1 y cerramos los dedos en direccion del otro vector.

Hacia donde queda apuntando el dedo pulgar (gordo) sera la direccion del vector resultante.

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Bibliografia:

- OpenGL game programming,  primma tech editorial